martes, 17 de mayo de 2016

Números fibonacci y factorial

NUMEROS FIBONACCI Y FACTORIAL

En matemáticas, la sucesión de Fibonacci (a veces llamada erróneamente serie de Fibonacci) es la siguiente sucesión infinita de números naturales:

1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377,610,987,1597

La espiral de Fibonacci: una aproximación de la espiral áurea generada dibujando arcos circulares conectando las esquinas opuestas de los cuadrados ajustados a los valores de la sucesión;1 adosando sucesivamente cuadrados de lado 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21 y 34.

La sucesión comienza con los números 0 y 1,2 y a partir de estos, «cada término es la suma de los dos anteriores», es la relación de recurrencia que la define.

A los elementos de esta sucesión se les llama números de Fibonacci. Esta sucesión fue descrita en Europa por Leonardo de Pisa, matemático italiano del siglo XIII también conocido como Fibonacci. Tiene numerosas aplicaciones en ciencias de la computación, matemáticas y teoría de juegos. También aparece en configuraciones biológicas, como por ejemplo en las ramas de los árboles, en la disposición de las hojas en el tallo, en las flores de alcachofas y girasoles, en las inflorescencias del brécol romanesco y en la configuración de las piñas de las coníferas.

Tomado de:https://es.wikipedia.org/wiki/Sucesi%C3%B3n_de_Fibonacci

a sucesión de Fibonacci es la sucesión de números:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, ...

Cada número se calcula sumando los dos anteriores a él.

El 2 se calcula sumando (1+1)
Análogamente, el 3 es sólo (1+2),
Y el 5 es (2+3),
¡y sigue!

Ejemplo: el siguiente número en la sucesión de arriba sería (21+34) = 55

¡Así de simple!

Aquí tienes una lista más larga:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946, 17711, 28657, 46368, 75025, 121393, 196418, 317811, ...

¿Puedes encontrar los siguientes números?

La regla

La sucesión de Fibonacci se puede escribir como una "regla" (lee sucesiones y series):

la regla es x_n = x_n-1 + x_n-2

donde:

x_n es el término en posición "n"
x_n-1 es el término anterior (n-1)
x_n-2 es el anterior a ese (n-2)

Por ejemplo el sexto término se calcularía así:

x₆ = x_6-1 + x_6-2 = x₅ + x₄ = 5 + 3 = 8

Tomado de:http://www.disfrutalasmatematicas.com/numeros/fibonacci-sucesion.html

Factorial !

La función factorial (símbolo: !) sólo quiere decir que se multiplican una serie de números que descienden. Ejemplos:

4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24
7! = 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 5040
1! = 1

"4!" normalmente se pronuncia "4 factorial". También se puede decir "factorial de 4"

Calculando desde el valor anterior

Es fácil calcular un factorial desde el valor anterior:

n	n!
1	1	1	1
2	2 × 1	= 2 × 1!	= 2
3	3 × 2 × 1	= 3 × 2!	= 6
4	4 × 3 × 2 × 1	= 4 × 3!	= 24
5	5 × 4 × 3 × 2 × 1	= 5 × 4!	= 120
6	etc	etc

Ejemplo: ¿Cuánto es 10! si ya sabes que 9!=362.880 ?

10! = 10 × 9!

10! = 10 × 362.880 = 3.628.800

Así que la regla es:

n! = n × (n-1)!

lo que significa "el factorial de cualquier número es: el número por el factorial de (1 menos que el número", por tanto 10! = 10 × 9!, o incluso 125! = 125 × 124!

Qué pasa con "0!"

El factorial de cero es interesante... se suele estar de acuerdo en que 0! = 1.

Parece raro que no multiplicar ningún número dé 1, pero ayuda a simplificar muchas cuestiones.

¿Dónde se usa el factorial?

Los factoriales se usan en muchas áreas de las matemáticas, pero sobre todo en combinaciones y permutaciones

Una pequeña lista

n	n!
0	1
1	1
2	2
3	6
4	24
5	120
6	720
7	5.040
8	40.320
9	362.880
10	3.628.800
11	39.916.800
12	479.001.600
13	6.227.020.800
14	87.178.291.200
15	1.307.674.368.000
16	20.922.789.888.000
17	355.687.428.096.000
18	6.402.373.705.728.000
19	121.645.100.408.832.000
20	2.432.902.008.176.640.000
21	51.090.942.171.709.400.000
22	1.124.000.727.777.610.000.000
23	25.852.016.738.885.000.000.000
24	620.448.401.733.239.000.000.000
25	15.511.210.043.331.000.000.000.000

¡Como ves, crecen muy rápido!

Algunas valores muy grandes

70! es aproximadamente 1,1978571669969891796072783721 x 10¹⁰⁰, que es un poco más grande que un Gúgol (un 1 seguido de 100 ceros).

100! es aproximadamente 9,3326215443944152681699238856 x 10¹⁵⁷

200! es aproximadamente 7,8865786736479050355236321393 x 10³⁷⁴

¿Y los decimales?

¿Puedes calcular factoriales de 0,5 o -3,217?

¡Sí que puedes! Pertienes que usar algo que se llama "función Gamma", y que es mucho más complicado que lo que tratamos aquí.

Factorial de un medio

Lo que sí te puedo decir es que el factorial de un medio (½) es la mitad de la raíz cuadrada de pi = (½)√π, y que los factoriales de algunos "semienteros" son:

n	n!
(-½)!	√π
(½)!	(½)√π
(3/2)!	(3/4)√π
(5/2)!	(15/8)√π

Y todavía complen la regla deque "el factorial de un número es: el número por el factorial de (1 menos que el número)", por ejemplo

(3/2)! = (3/2) × (1/2)!

(5/2)! = (5/2) × (3/2)!o

Tomado de:http://www.disfrutalasmatematicas.com/numeros/factorial.html

martes, 10 de mayo de 2016

Ciclo for

El ciclo For es una de las instrucciones mas sencillas de aprender, y consiste en utilizar mayormente “rangos” en los cuales se define el numero de iteraciones que se pueden hacer en este ciclo.

Declaración y sintaxis

La sintaxis es la siguiente:

1for(inicio;mientras;incremento)

2{

3 //CODIGO A EJECUTAR

4}

Donde el inicio es la declaración de una variable que funciona como un “contador” mientras ejecutamos el ciclo. Continuamente el “mientras” especifica los valores o el rango de valores que puede tomar el contador de “inicio” y el “incremento” especifico cuanto se va a incrementar el contador con cada iteración, lo que indicaría que eventualmente el contador saldría de su posible rango de valores y terminaría el ciclo.

Tomado de:http://codigoprogramacion.com/cursos/tutoriales-c/ciclo-for-en-c-y-ejemplos.html#.V1D4oTXhDIU

El bucle for o ciclo for es una estructura de control en la que la PC nos muestra el como programar si es que nosotros queremos programar un robot B-bot , en este se puede indicar el modo en la que se puede indicar el número mínimo de iteraciones. Está disponible en casi todos los lenguajes de programación imperativos.

Elementos del bucle

Inicialización de la variable de control: en pseudolenguaje se pide explicitarlo (es la sección := ValorInicial), sin embargo, otros lenguajes más permisivos como C no lo requieren de forma obligatoria. De todos modos, la práctica de utilizar variables de control que no se inicializan en el bucle no es recomendada para la legibilidad del código. En C se define en el primer parámetro del bucle junto con la variable de control.'Variable de control': prácticamente un mandato impuesto por el uso habitual es utilizar la letra i Iterador como variable de control, o bien sus sucesoras en caso de bucles anidados. El uso de esta letra críptica quizás a primera vista es sin embargo una excelente forma de aportar agilidad de lectura al código por su uso tan extensivo. Como raras veces los bucles anidados superan las tres dimensiones (por una sencilla cuestión de explosión exponencial), las letras i, j y k suelen ser las únicas relacionadas con este uso. En C se define en el primer parámetro de la instrucción junto con la inicialización (opcional).

Condición de control: en pseudolenguaje se ve representado por el valor final que puede tomar la variable de control (la sección A ValorFinal). En C es el segundo parámetro y puede ser cualquier condición (ni siquiera es obligación que esté la variable de control, aunque una vez más, esto no se considera una buena práctica).

Incremento: en pseudolenguaje se toma por defecto el valor 1, aunque puede explicitarse por medio de la sentencia PASO = ValorPaso cualquier número entero (léase bien entero, o sea que técnicamente podemos decrementar). En C es el último parámetro.

Cuerpo: es lo que se hará en cada iteración, pueden ser una o más instrucciones. En pseudolenguaje pesa la restricción de no poder alterar el valor de la variable de control; esto no es requerido en C, pero no se considera una buena práctica.

Tomado de:https://es.wikipedia.org/wiki/Bucle_for

En dfd

2.CiCLO FOR

Instrucción	Significado
algoritmo nombre	Marca el comienzo de un algoritmo y le adjudica un nombre
Inicio	Marca el comienzo de un bloque de instrucciones
fin	Marca el final de un bloque de instrucciones
variables
nombre_var es tipo_de_datos	Declaración de variables. Indica el identificador y el tipo de las variables que se van a usar en el algoritmo
constantes
nombre_const = expresión	Declaración de constantes. La expresión se evalúa y su resultado se asigna a la constante. Este valor no puede modificarse a lo largo del programa.
leer (variable)	Entrada de datos. El programa lee un dato desde un dispositivo de entrada (si no se indica otra cosa, el teclado), asignando ese dato a la variable

escribir (variable)	Salida de datos. Sirve para que el programa escriba un dato en un dispositivo de salida (si no se indica otra cosa, la pantalla).
variable = expresión	Asignación. La expresión se evalúa y su resultado es asignado a la variable
si (condición) entonces inicio acciones-1 fin si_no inicio acciones-2 fin	Instrucción condicional doble. El ordenador evaluará la condición, que debe ser una expresión lógica. Si es verdadera, realiza las acciones-1, y, si es falsa, las acciones-2.Instrucción condicional simple. Es igual pero carece de la rama “si_no”, de modo que, si la expresión de falsa, no se realiza ninguna acción y la ejecución continúa por la siguiente instrucción
según (expresión) hacer inicio valor1: acciones-1 valor2: acciones-2 … valor3: acciones-N si_no: acciones-si_no fin	Instrucción condicional múltiple. Se utiliza cuando hay más de dos condiciones posibles (verdadero o falso) . Se evalúa la expresión, que suele ser de tipo entero, y se busca un valor en la lista valor1, valor2,… valorN que coincida con ella, realizándose las acciones asociadas al valor coincidente.Si ningún valor de la lista coincide con la expresión del “según”, se realizan las acciones de la parte “si_no”.
mientras (condición) hacer inicio acciones fin	Bucle mientras. Las acciones se repiten en tanto la condición, que debe ser una expresión lógica, sea verdadera. La condición se evalúa antes de entrar al bloque de acciones, de modo que pueden no ejecutarse ninguna vez.
repetir inicio acciones fin mientras que (condición)	Bucle repetir. Las acciones se repiten en tanto que la condición, que debe ser una expresión lógica, sea verdadera. Se parece mucho al anterior, pero la condición se evalúa al final del bucle, por lo que éste se ejecuta, como mínimo, una vez
para variable desde expr-ini hasta expr-fin hacer inicio acciones fin	Bucle para. Se evalúa la expresión expr-ini, que debe ser de tipo entero, y se asigna ese valor a la variable. Dicha variable se incrementa en una unidad en cada repetición de las acciones. Las acciones se repiten hasta que la variable alcanza el valor expr-fin.

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