NUMEROS FIBONACCI Y FACTORIAL
En matemáticas, la sucesión de Fibonacci (a veces llamada
erróneamente serie de Fibonacci) es la siguiente sucesión infinita de números
naturales:
1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377,610,987,1597
La espiral de Fibonacci: una aproximación de la espiral
áurea generada dibujando arcos circulares conectando las esquinas opuestas de
los cuadrados ajustados a los valores de la sucesión;1 adosando sucesivamente
cuadrados de lado 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21 y 34.
La sucesión comienza con los números 0 y 1,2 y a partir de
estos, «cada término es la suma de los dos anteriores», es la relación de
recurrencia que la define.
A los elementos de esta sucesión se les llama números de
Fibonacci. Esta sucesión fue descrita en Europa por Leonardo de Pisa,
matemático italiano del siglo XIII también conocido como Fibonacci. Tiene
numerosas aplicaciones en ciencias de la computación, matemáticas y teoría de
juegos. También aparece en configuraciones biológicas, como por ejemplo en las
ramas de los árboles, en la disposición de las hojas en el tallo, en las flores
de alcachofas y girasoles, en las inflorescencias del brécol romanesco y en la
configuración de las piñas de las coníferas.
a sucesión de Fibonacci es la sucesión de números:
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, ...
Cada número se calcula sumando los dos anteriores a él.
- El 2 se calcula sumando (1+1)
- Análogamente, el 3 es sólo (1+2),
- Y el 5 es (2+3),
- ¡y sigue!
Ejemplo: el siguiente número en la sucesión de arriba sería (21+34) = 55
¡Así de simple!
Aquí tienes una lista más larga:
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946, 17711, 28657, 46368, 75025, 121393, 196418, 317811, ...
¿Puedes encontrar los siguientes números?
La regla
La sucesión de Fibonacci se puede escribir como una "regla" (lee sucesiones y series):
la regla es xn = xn-1 + xn-2
donde:
- xn es el término en posición "n"
- xn-1 es el término anterior (n-1)
- xn-2 es el anterior a ese (n-2)
Por ejemplo el sexto término se calcularía así:
x6 = x6-1 + x6-2 = x5 + x4 = 5 + 3 = 8
Factorial !
 |
La función factorial (símbolo: !) sólo quiere decir que se multiplican una serie de números que descienden. Ejemplos:
|
 |
"4!" normalmente se pronuncia "4 factorial". También se puede decir "factorial de 4"
|
Calculando desde el valor anterior
Es fácil calcular un factorial desde el valor anterior:
| n | n! | ||
|---|---|---|---|
| 1 | 1 | 1 | 1 |
| 2 | 2 × 1 | = 2 × 1! | = 2 |
| 3 | 3 × 2 × 1 | = 3 × 2! | = 6 |
| 4 | 4 × 3 × 2 × 1 | = 4 × 3! | = 24 |
| 5 | 5 × 4 × 3 × 2 × 1 | = 5 × 4! | = 120 |
| 6 | etc | etc |
Ejemplo: ¿Cuánto es 10! si ya sabes que 9!=362.880 ?
10! = 10 × 9!
10! = 10 × 362.880 = 3.628.800
Así que la regla es:
n! = n × (n-1)!
lo que significa "el factorial de cualquier número es: el número por el factorial de (1 menos que el número", por tanto 10! = 10 × 9!, o incluso 125! = 125 × 124!
Qué pasa con "0!"
El factorial de cero es interesante... se suele estar de acuerdo en que 0! = 1.
Parece raro que no multiplicar ningún número dé 1, pero ayuda a simplificar muchas cuestiones.
¿Dónde se usa el factorial?
Los factoriales se usan en muchas áreas de las matemáticas, pero sobre todo en combinaciones y permutaciones
Una pequeña lista
| n | n! |
|---|---|
| 0 | 1 |
| 1 | 1 |
| 2 | 2 |
| 3 | 6 |
| 4 | 24 |
| 5 | 120 |
| 6 | 720 |
| 7 | 5.040 |
| 8 | 40.320 |
| 9 | 362.880 |
| 10 | 3.628.800 |
| 11 | 39.916.800 |
| 12 | 479.001.600 |
| 13 | 6.227.020.800 |
| 14 | 87.178.291.200 |
| 15 | 1.307.674.368.000 |
| 16 | 20.922.789.888.000 |
| 17 | 355.687.428.096.000 |
| 18 | 6.402.373.705.728.000 |
| 19 | 121.645.100.408.832.000 |
| 20 | 2.432.902.008.176.640.000 |
| 21 | 51.090.942.171.709.400.000 |
| 22 | 1.124.000.727.777.610.000.000 |
| 23 | 25.852.016.738.885.000.000.000 |
| 24 | 620.448.401.733.239.000.000.000 |
| 25 | 15.511.210.043.331.000.000.000.000 |
¡Como ves, crecen muy rápido!
Algunas valores muy grandes
70! es aproximadamente 1,1978571669969891796072783721 x 10100, que es un poco más grande que un Gúgol (un 1 seguido de 100 ceros).
100! es aproximadamente 9,3326215443944152681699238856 x 10157
200! es aproximadamente 7,8865786736479050355236321393 x 10374
¿Y los decimales?
¿Puedes calcular factoriales de 0,5 o -3,217?
¡Sí que puedes! Pertienes que usar algo que se llama "función Gamma", y que es mucho más complicado que lo que tratamos aquí.
Factorial de un medio
Lo que sí te puedo decir es que el factorial de un medio (½) es la mitad de la raíz cuadrada de pi = (½)√π, y que los factoriales de algunos "semienteros" son:
| n | n! |
|---|---|
| (-½)! | √π |
| (½)! | (½)√π |
| (3/2)! | (3/4)√π |
| (5/2)! | (15/8)√π |
Y todavía complen la regla deque "el factorial de un número es: el número por el factorial de (1 menos que el número)", por ejemplo
(3/2)! = (3/2) × (1/2)!
(5/2)! = (5/2) × (3/2)!o
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